В этой статье мы поговорим про смешанные числа . Сначала дадим определение смешанных чисел и приведем примеры. Дальше остановимся на связи между смешанными числами и неправильными дробями. После этого покажем, как перевести смешанное число в неправильную дробь. Наконец, изучим обратный процесс, который называется выделением целой части из неправильной дроби.

Навигация по странице.

Смешанные числа, определение, примеры

Математики договорились, что сумму n+a/b , где n - натуральное число , a/b – правильная обыкновенная дробь , можно записывать без знака сложения в виде . Например, сумму 28+5/7 можно кратко записать как . Такую запись назвали смешанной, а число, которое соответствует данной смешанной записи, назвали смешанным числом.

Так мы подошли к определению смешанного числа.

Определение.

Смешанное число – это число, равное сумме натурального числа n и правильной обыкновенной дроби a/b , и записанное в виде . При этом число n называют целой частью числа , а число a/b называют дробной частью числа .

По определению смешанное число равно сумме свой целой и дробной части, то есть, справедливо равенство , которое можно записать и так: .

Приведем примеры смешанных чисел . Число - это смешанное число, натуральное число 5 – целая часть числа , а - дробная часть числа . Другими примерами смешанных чисел являются .

Иногда можно встретить числа в смешанной записи, но имеющие дробной частью неправильную дробь, например, или . Эти числа понимают как сумму их целой и дробной части, например, и . Но такие числа не подходят под определение смешанного числа, так как дробной частью смешанных чисел должна быть правильная дробь.

Число - это тоже не смешанное число, так как 0 не натуральное число.

Связь между смешанными числами и неправильными дробями

Проследить связь между смешанными числами и неправильными дробями лучше всего на примерах.

Пусть на подносе лежит торт и еще 3/4 такого же торта. То есть, по смыслу сложения на подносе находится 1+3/4 торта. Записав последнюю сумму в виде смешанного числа, констатируем, что на подносе находится торта. Теперь целый торт разрежем на 4 равные доли. В результате на подносе окажется 7/4 торта. Понятно, что «количество» торта при этом не изменилось, поэтому .

Из рассмотренного примера явно видна такая связь: любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби .

А теперь пусть на подносе находятся 7/4 торта. Сложив из четырех долей целый торт, на подносе окажется 1+3/4 , то есть, торта. Отсюда видно, что .

Из этого примера понятно, что неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа . (В частном случае, когда числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, неправильную дробь можно представить в виде натурального числа, например, , так как 8:4=2 ).

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Для выполнения различных действий со смешанными числами оказывается полезным навык представления смешанных чисел в виде неправильных дробей. В предыдущем пункте мы выяснили, что любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Пришло время разобраться, как осуществляется такой перевод.

Запишем алгоритм, показывающий как перевести смешанное число в неправильную дробь :

Рассмотрим пример перевода смешанного числа в неправильную дробь.

Пример.

Представьте смешанное число в виде неправильной дроби.

Решение.

Выполним все необходимые шаги алгоритма.

Смешанное число равно сумме его целой и дробной части: .

Записав число 5 как 5/1 , последняя сумма примет вид .

Чтобы закончить перевод исходного смешанного числа в неправильную дробь, осталось выполнить сложение дробей с разными знаменателями : .

Краткая запись всего решения такова: .

Ответ:

Итак, чтобы осуществить перевод смешанного числа в неправильную дробь, нужно выполнить следующую цепочку действий: . В итоге получена , которую мы и будем использовать в дальнейшем.

Пример.

Запишите смешанное число в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся формулой для перевода смешанного числа в неправильную дробь. В этом примере n=15 , a=2 , b=5 . Таким образом, .

Ответ:

Выделение целой части из неправильной дроби

В ответе не принято записывать неправильную дробь. Неправильную дробь предварительно заменяют либо равным ей натуральным числом (когда числитель делится нацело на знаменатель), либо проводят так называемое выделение целой части из неправильной дроби (когда числитель не делится нацело на знаменатель).

Определение.

Выделение целой части из неправильной дроби – это замена дроби равным ей смешанным числом.

Осталось узнать, как можно выделить целую часть из неправильной дроби.

Это очень просто: неправильная дробь a/b равна смешанному числу вида , где q - неполное частное, а r – остаток от деления a на b . То есть, целая часть равна неполному частному от деления a на b , а остаток равен числителю дробной части.

Докажем это утверждение.

Для этого достаточно показать, что . Переведем смешанное в неправильную дробь так, как мы это делали в предыдущем пункте: . Так как q – неполное частное, а r – остаток от деления a на b , то справедливо равенство a=b·q+r (при необходимости смотрите

Как выделить целую часть из неправильной дроби? Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо: Разделить с остатком числитель на знаменатель; Неполное частное будет целой частью; Остаток (если он есть) даёт числитель, а делитель – знаменатель дробной части. Выполни № 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Картинка 22 из презентации «Смешанные числа 5 класс» к урокам математики на тему «Смешанные числа»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока математики, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Смешанные числа 5 класс.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 304 КБ.

Скачать презентацию

Смешанные числа

«Конспект урока по математике» - Выполни по образцу. а) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 б, в, г (у доски) д) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5/9 е, ж, з (у доски). На огороде собрали 12 кг огурцов. 2/3 всех огурцов засолили. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8)/10=2/10. Покажите дробь 2/8+3/8. Сформулируйте правило вычитания. Изучение нового материала:

«Сравнение десятичных дробей» - Цель урока. Сравните числа: Устный счет. 9,85 и 6,97; 75,7 и 75,700; 0,427 и 0,809; 5,3 и 5,03; 81,21 и 81,201; 76,005 и76,05; 3,25 и 3, 502; Прочитайте дроби: 41,1 ; 77,81; 21,005; 0,0203. 41,1 ; 77,81; 21,005; 0,0203. Уравняйте число знаков после запятой. План урока. Разряды десятичных дробей. Урок закрепления в 5 классе.

«Правила округления чисел» - 1,8. 48. Молодцы! 3. 3. Научиться применять правило округления на примерах. Попробуй сравнить. Округлите целые числа до десятков. 1. Вспомнить правило округления чисел. Удобно ли работать с таким числом? Сто тысячные. 3. Записываем результат. 5312. >. 2. Вывести правило округления десятичных дробей до заданного разряда.

«Сложение смешанных чисел» - 25. Пример 4. Найдем значение разности 3 4\9-1 5\6. 3 4\9=3 818; 1 5\6=1 15\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Урок конспект в 6 классе

Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок - для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби - это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.

Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.

Числовая дробь (или просто дробь) - это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.

Дроби, записанные через горизонтальную черту:

Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Обычно дроби записываются через горизонтальную черту - так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу - знаменателем.

Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, 12 = 12/1 - получилась дробь из приведенного выше примера.

Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение - знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»

Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.

Основное свойство дроби

Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .

Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, 1/2 = 2/4 , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, 1/3 ≠ 5/4 , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.

Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:

Основное свойство дроби - числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.

Это очень важное свойство - запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.

Неправильные дроби. Выделение целой части

Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.

Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):

Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:

1. Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае - равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
2. Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае - ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
3. Знаменатель переписываем без изменений.

Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться - и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:

Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:

Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления - зеленым.

Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24: 6 = 4 - суровый факт из таблицы умножения.

Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.

Переход к неправильной дроби

Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.

Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:

1. Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
2. Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
3. Переписать знаменатель - опять же, без изменений.

Вот конкретные примеры:

Задача. Переведите в неправильную дробь:

Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби - зеленым.

Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:

В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.

Сделать это очень просто, если вспомнить правила:

1. «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе - положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
2. «Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их - никаких дополнительных действий не требуется.

Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего - в числитель).

Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем - с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:

Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.

Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».

Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные - и лишь затем приступают к вычислениям.

Разделы: Математика

Класс: 4

Основные цели:

1. Сформировать способность к выделению целой части из неправильной дроби.
2. Повторить понятия числителя и знаменателя, дроби правильные и неправильные, смешанные числа.
3. Актуализировать умение выделять целую часть из неправильной дроби.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: действие по аналогии, анализ, обобщение.

Оборудование:

Демонстрационный материал:

1) Формула деления с остатком.

Раздаточный материал:

1) листочки с заданием (к этапу 2)

2) Подробный образец для самопроверки (к этапу 6)

Ход урока.

1 Самоопределение к учебной деятельности.

Цели:

1. Мотивировать учащихся к учебной деятельности посредством закрепления ситуации успеха, достигнутой на предыдущем уроке.
2. Определить содержательные рамки урока.

Организация учебного процесса на этапе 1.

На протяжении нескольких уроков мы работали с некоторыми числами. С какими числами мы работали? (С дробными числами).

Какие знания у нас есть об этих числах? (Умеем их читать, записывать, сравнивать, решать задачи).

Предлагаю продолжить нашу плодотворную работу. Вы готовы? (Да).

Сегодня мы продолжим работать с дробными числами. Я уверена, что у нас с вами все получится на отлично. Но сначала повторим материал предыдущих уроков.

2 Актуализация знаний и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности.

Цели:

1. Актуализировать умение находить правильные и неправильные дроби, смешанные числа, определение правильной и неправильной дроби, смешанного числа.
2. Актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала.
3. Зафиксировать ситуацию, когда учащиеся не смогут выделить целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 2.

С какими числами мы познакомились на предыдущем уроке? (Со смешанными числами).
- Из чего состоит смешанное число? (Из целой и дробной части).

На доске записаны дроби и смешанные числа.

На какие группы можно разделить представленные числа?

Правильные дроби ().

Какие дроби называются правильными? (Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Правильная дробь меньше единицы).

Неправильные дроби. (…..)

Какие дроби называются неправильными? (Дробь, у которой числитель больше знаменателя или числитель равен знаменателю).

Какие из неправильных дробей можно представить в виде натурального числа?

()

Какую дробь можно представить в виде смешанного числа? (Неправильную дробь, где числитель больше знаменателя).

Определите с помощью числового луча, какому смешанному числу равна дробь

У учащихся лист с заданием (Р-1), один ученик работает у доски, комментирует.

Назовите наименьшее смешанное число?()

Наибольшее? ()

Какое арифметическое действие вам помогло? (Деление. Деление с остатком).

Докажите. (На доске: Д-1).

12:7=1 (ост.5); 15:7=2 (ост.1); 25:7=3 (ост.4); 31:7=4 (ост.3)

Выделите целую часть дроби , запишите смешанное число. Дети работают на обратной стороне листочка. Разные варианты ответов выносятся на доску.

Как вы действовали?

3 Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

Цели:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие по выявлению отличительного свойства задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Согласовать тему и цель урока.

Организация учебного процесса на этапе 3.

Какое задание вы выполняли? (Надо выделить целую часть из дроби ).

Чем это задание отличается от предыдущего? (Тот способ, который нам помогал выделять целую часть из неправильной дроби не подходит для дроби . Эту дробь неудобно показать на числовом луче).

Что же мы видим? (У нас получились разные ответы).

Почему? (Мы пользовались разными способами. У нас нет алгоритма выделения целой части из неправильной дроби).

Какова же цель нашего урока? (Построить алгоритм и научиться выделять целую часть из неправильной дроби).

Подумайте и сформулируйте тему нашего урока. («Выделение целой части из неправильной дроби»).

Молодцы!

На доске открывается название темы урока.

4 Построение проекта выхода из затруднения.

Цель:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия для выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать новый способ в знаковой и вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4

Каким способом вы предлагаете найти, сколько в дробном числе целых единиц? (Числитель разделить на знаменатель).

Какой знак в записи дроби вам подсказал, как надо действовать? (Черта дроби – знак деления).

На доске:

Запишем дробь в виде частного: 65: 7.

Какой это вид деления? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

Найдите результат. (65: 7 = 9) (ост. 2)

Что означает в полученном равенстве частное 9 и остаток 2? (Частное 9 означает, что в 65 содержится 9 раз по 7 и 2 остается).

Что будет обозначать частное 9 в смешанном числе? (9 – это целая часть смешанного числа).

На доске:

Что будет обозначать остаток 2 в смешанном числе? (2 – это числитель дроби смешанного числа).

На доске:

А знаменатель? (Он остается, не изменяется).

На доске:

Какое смешанное число у нас получилось?

Выполнили мы задание? (Да).

Какое математическое действие нам помогло? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

Учитель возвращается к ответам на листочках, обобщает, поощряет словом тех, кто выполнил правильно. В групповой форме учащиеся выводят новый способ в знаковой форме на листочках. Выбирается правильный вариант.

Запишите, пользуясь формулой деления с остатком (Д-1), какому смешанному числу равна дробь ?

На доске: Д-3

Как из неправильной дроби выделить целую часть?

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо её числитель разделить на знаменатель. Частное будет целой частью, остаток – числитель, а знаменатель не изменяется.

Молодцы! Спасибо!

Давайте всё же проверим наше мнение с мнением учебника. Откройте страницу 26, Математика 4 (2 часть), прочитайте правило сначала про себя, а потом вслух.

Мы были правы? (Да).

Молодцы!

Физминутка (по выбору учителя).

5 Первичное закрепление во внешней речи.

Цель:

Зафиксировать способ выделения целой части из неправильной дроби во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5.

Давайте ещё раз повторим алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Д-2

Мы с вами составили алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Какова цель нашей дальнейшей деятельности? (Потренироваться).

№ 4 (а,б,в) стр. 26 – с комментированием по образцу.

№ 4 (г, д) стр. 26 – в парах.

6 Самоконтроль с самопроверкой.

Цель:

1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Тренировать способность к самоконтролю и самооценке.
3. Проверить своё умение выделять целую часть из неправильной дроби.
4. Способствовать созданию ситуации успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6.

Вы сумели вывести алгоритм выделения целой части из неправильной дроби и потренировались в решении примеров. Я думаю, теперь вы сможете выполнить задание сами.

Выполните самостоятельно:

№ 3 стр. 26 – 1 вариант – 1 и 2 столбик;

2 вариант – 3 и 4 столбик;

Кто желает, может выполнить задание и другого варианта.

Учащиеся выполняют работу, по окончании которой проверяют себя по образцу для самопроверки. Используется карточка Р-2.

Проверьте себя по образцу для самопроверки и зафиксируйте результат проверки при помощи знаков «+» или «?» зеленой ручкой.

Кто допустил ошибки при выполнении задания? (…)

В чем причина? (…)

У кого все верно?

Молодцы!

Можно организовать работу по коррекции ошибок в группах или фронтально. Консультантами назначаются учащиеся, которые не допустили ошибок.

7 Включение в систему знаний и повторение.

Цель:

Тренировать способности выделять целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 7.

Попробуем применить наши знания при сравнении дроби и смешанного числа.

Найдите неравенство, в котором надо сравнить правильную дробь с неправильной.

Что будем делать?

Выделим целую часть из неправильной дроби.

Значит?!

Неправильная дробь больше правильной. Мы это доказали, выделив целую часть.

Молодцы!

Закончите задание, сравните.

Проверим.

8 Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели:

1. Зафиксировать в речи алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать затруднения, которые остались, и способы их преодоления.
3. Оценить собственную деятельность на уроке.
4. Согласовать домашние задание.

Организация учебного процесса на этапе 8.

Чему научились на уроке? (Выделять целую часть из неправильной дроби).

Какой алгоритм мы построили? (Можно проговорить алгоритм Д-2).

У кого были трудности? Как будете, действовать?

Кто сегодня доволен собой? Почему?

Мне было трудно на уроке.
- я понял урок, но мне нужна тренировка.
- я хорошо понял урок, но нужна помощь.
- я молодец, понял урок на отлично.

Домашнее задание: придумать пять неправильных дробей и выделить целую часть; №10, №11 стр. 28 – по выбору; № 15 стр. 28 (а или б) – по желанию.

Молодцы! Спасибо за работу на уроке!

имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

Запомните!

У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
3. остаток записываем в числитель дроби;
4. делитель записываем в знаменатель дроби.

Пример. Выделим целую часть из неправильной дроби

11

2

.

Запомните!

Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом .

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби .

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.