Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби - x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 - 1 x 2 - 1 мы можем сократить на х - 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

• нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
• в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3 , 2 · x 3 - 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Класс: 6

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

Данный урок последний в теме «Сокращение дробей» и направлен на достижение следующих целей:

Познавательные:

• систематизировать знания по теме «сокращение дробей»;
• добиться навыка сокращения дробей каждым учащимся класса;
• проверить наличие вышеназванного навыка;
• повторить на задачном материале тему «скорость, время, расстояние»
• повторить перевод единиц измерения массы, времени, длины.
• повторить понятия прямого и развернутого угла
• применить учащимися знания о сокращении дробей в стандартных и нестандартных ситуациях.

Развивающие:

• развитие математической речи («сокращаю на множитель…», «числитель и знаменатель делятся на….») , культуры чтения дробей;
• формирование умения строить аналогии.

Воспитывающие:

• развитие собранности и аккуратности;
• развитие умения слушать других и одновременно умения отстаивать свою точку зрения.

Оборудование для организации урока: компьютер, мультимедийный проектор, экран;

В целях повышения интереса к предмету урок подготовлен с использованием ИКТ в виде презентации Power point.

Структура урока:

1. Организационный момент, сбор тетрадей с домашней работой (2 мин.)
2. Сообщение темы и цели урока (1 мин.)
3. Устная работа (6 мин.)
4. Обобщение и систематизация знаний по теме и их применение в стандартной ситуации и нестандартной ситуации (13 мин.)
5. Математический диктант (13 мин.)
6. Повторение материала 5 кл. (7 мин.)
7. Подведение итогов урока (2 мин.)
8. Постановка домашнего задания (1 мин.)

Ход урока

Урок подготовлен в виде презентации Power point (Приложение )

I. Организационный момент. Сообщение темы урока.

II. Устный счет

1. Машинистка выполнила работу за 7 дней. Какую часть работы она выполнит за 1 день? (1/7)
2. Туристы от базы до озера шли 4 ч со скоростью 6 км/ч.
   А) Каково расстояние от базы до озера? (24 км)
   Б) С какой скоростью они шли обратно, если обратный путь занял 3 часа? (8 км/ч)
3. По учебнику №253(а, б) (автор Н.Я. Виленкин).

Замечание: Несложный вычислительный материал устного счета позволяет лучше сконцентрироваться на сути вопросов и быстро перейти к закреплению изученного материала по теме «сокращение дробей».

III. Повторение изученного материала

Самостоятельное решение с самопроверкой в режиме он-лайн на компьютере.

IV. Динамическая пауза

V. Математический диктант

Сократите дробь:

Какую долю

1. одной тонны составляют два центнера (одного километра составляют двести метров)
2. одного часа составляют десять минут (одной минуты составляют пятнадцать секунд)
3. величины прямого угла составляют тридцать градусов (величины развернутогоугла составляют тридцать градусов)

Верно ли высказывание:

VI. Повторение материала 5 класса. Работа над задачей из учебника.

№267(1). Работа с доской.

• Прочитайте задачу.
• Сделайте краткую запись.

• Как узнать скорость против течения?
• С какой скоростью двигался плот?
• Что известно про путь, пройденный туда и путь, пройденный обратно?
• Что можно узнать 1 действием?

(24-3)*3=63 (км) длина пути
63:3=21 (ч) время движения на плоту

Ответ: 21 ч.

VII. Итоги урока.

• В чем заключается основное свойство дроби?
• Что значит сократить дробь?
• Приведите примеры сократимых и несократимых дробей.

VIII. Домашняя работа

№266; 270; 274(б); 267(2).

Список литературы :

1. ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ОТКРЫТОГО ОБРАЗОВАНИЯ
   ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В 2009/2010 УЧЕБНОМ ГОДУ Методическое письмо
   Под редакцией И.В. Ященко, А.В. Семенова. Москва. МИОО. ОАО «Московские учебники», 2009.
2. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика 6 класс, учебник, часть 1. ОАО «Московские учебники», 2006.
3. В.В. Выговская. Поурочные разработки по матетатике 6 класс. Москва, Вако, 2009.
4. В.И. Жохов. Математические диктанты 6кл., Москва, «Росмэн», 2003.

Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.

Задача 1. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?

Решение:

Ответ: в классе отсутствует учащихся.

Нахождение дроби от числа

Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:

Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.

Задача 1. Было 600 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег истратили?

Решение: чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:

600: 4 = 150 (р.)

Ответ: истратили 150 рублей.

Задача 2. Было 1000 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?

Решение: из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:

1) 1000: 5 = 200 (р.) - одна пятая часть.

2) 200 · 2 = 400 (р.) - две пятых части.

Эти два действия можно объединить: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).

Ответ: было истрачено 400 рублей.

Второй способ нахождения части целого:

Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.

Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?

Решение:

Ответ: отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.

Нахождение числа по его дроби

Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:

Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.

Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.

Решение: из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:

50 · 6 = 300 (р.)

Ответ: первоначальная сумма - 300 рублей.

Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.

Решение: будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):

1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)

Ответ: первоначальная сумма - 900 рублей.

Второй способ нахождения целого по его части:

Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.

Задача 3. Отрезок AB , равный 42 см, составляет длины отрезка CD . Найти длину отрезка CD .

Решение:

Ответ: длина отрезка CD 70 см.

Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал , после обеда - привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?

Решение: сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):

И так, мы узнали, что 80 арбузов составляет от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет , а затем сколько арбузов составляют (количество привезённых арбузов):

2) 80: 4 · 15 = 300 (арбузов)

Ответ: всего в магазин привезли 300 арбузов.

Ход урока (28.09.16)

Тема: сокращение дробей

Цель: вывести правило сокращения дробей, используя признаки делимости чисел и основного свойства дроби, и уметь применять его на практике .

Задачи:

4. Формировать умение работать индивидуально, в парах, аргументировать и отстаивать свое мнение

I Организационный момент

Доброе утро, ребята! Я рада вас видеть в хорошем настроении. У нас сегодня много гостей. Постараемся показать наши знания и умения.

II Актуализация знаний

1.Что называется делителем числа a?

2. Что называется НОД чисел a и b?

3. Какие числа называются взаимно простыми?

5. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9.

6. Сформулируйте основное свойство дроби.

7. Назовите несколько дробей, равных данным:

Используя основное свойство дроби выполните графический диктант.

Ответ «да» соответствует +, ответ «нет» соответствует - .

+ - - + + - - +

Взаимопроверка

Критерии

8 заданий 3 балла

6-7 заданий 2 балла

4-5 заданий 1 балла

менее 4 заданий 0 баллов

III Первичное восприятие учебного материала

Резервуар бассейна наполняют две трубы. Одна труба наполняет бассейна за час, а другая . Какая из труб пропускает воды больше?

Задача

I т. - бассейна за час

II т. – бассейна за час

Кто труба пропускает больше воды?

О чём говорится в задаче?

Сколько труб наполняют бассейн?

Что в задаче говорится о трубах?

Что надо найти?

Что для этого надо знать?

Два ученика у доски

= = (б) за один час I труба

2) = = (б) за один час II труба

Ответ: II труба пропускает больше воды.

– Могли мы сразу сравнить две дроби … без преобразований?

– А сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями?

– Как мы получили равные им дроби, но с одинаковыми знаменателями?

– Какое свойство для этого использовали?

IV Определение темы урока

– Итак, мы с вами применили основное свойство дроби, заменили дроби на равные им путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Получилась дробь, значение которой равно данной дроби, но с меньшим числителем и знаменателем

Такое преобразование называют …. СОКРАЩЕНИЕМ ДРОБЕЙ

– Тема нашего урока «Сокращение дробей». Запишите её в тетрадь.

– Рассказ о применении понятия «сокращение».

V Постановка цели урока

– А теперь попробуйте сформулировать цель нашего урока, с чем мы должны познакомиться и чему научиться на уроке.

Ставим перед собой цель:

Учится сокращать дроби, используя признаки делимости чисел и основного свойства дроби.

Задачи

1. Сформулировать правило сокращения дробей

2. Ввести понятие несократимой дроби

3. Научиться применять эти правила на практике

– Как получили ответ?

– Давайте вместе попробуем сформулировать правило, что такое сокращение дробей и как сократить дробь.

– Молодцы!

– Теперь откройте учебник на стр. 39, прочитайте правило (запишите его в тетрадь)

VI Проверка понимания учащимися нового материала

= = объясняет учитель

Выводим алгоритм сокращения дроби: 12/18

Теперь применим наши новые знания на практике. Сократить дроби, комментируя, работаем по вариантам:

– Задание решать будем самостоятельно, к доске пойдут два человека и будут выполнять задание на доске, потом мы вместе все проверим.

____________________________________________________________________________

– Посмотрите на слайд, сократите дробь, если это возможно:

– В каких из этих дробей числитель и знаменатель дроби – взаимно простые числа?

– Чему равен в этом случае НОД числителя и знаменателя?

– Правильно, 1. Значит, общих делителей, кроме 1, у этих чисел нет, и такую дробь сократить нельзя. Она так и называется – несократимая.

– Попробуйте сформулировать определение несократимой дроби.

(Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то их НОД равен 1 и такая дробь несократима.)

VII Закрепление

Тест, самооценка, критерии

VIII Подведение итогов урока

Подходит к завершению наш урок, пора подвести итоги.

Запишите домашнее задание:

– Что значит сократить дробь?

– Что меняется при сокращении дроби?

– Какая дробь называется несократимой?

– Поставьте себе оценку за урок.

IХ Рефлексия

О чем мы сегодня говорили?

Какую цель мы поставили сегодня?

Достигли ли мы этой цели?

Все ли было понятно?

Урок окончен! Вы все молодцы! Спасибо за работу!

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Самоанализ урока Сокращение дробей 6 класс

Тема урока: Сокращение дробей Цель урока: вывести правило сокращения дробей, используя основное свойство дроби и признаки делимости чисел

Задачи: формулировать правило сокращения дробей в вести понятие несократимой дроби научиться применять эти правила на практике

Этапы урока Планируемые результаты Организационный момент Создать благоприятный психологический настрой Актуализация знаний Ученики умеют отвечать на поставленные вопросы, знают правила основного свойства дроби, умеют его применять Определение темы урока Взаимодействие с учителем во время беседы, осуществляемой во фронтальном режиме, при решении задачи, создающей проблемную ситуацию, подводящую к новой теме Постановка цели урока Учащиеся формулируют цель урока, понимают практическую значимость изучаемого материала

Этапы урока Планируемые результаты Первичное восприятие и усвоение нового учебного материала Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания изучаемого материала Проверка понимания учащимися нового материала Выявление качества и уровня усвоения материала Включение нового материала в систему ранее усвоенных знаний Учащиеся умеют сокращать дроби с использованием нового материала

Этапы урока Планируемые результаты Закрепление нового материала Умеют сокращать дроби Домашнее задание Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания Итог урока Рефлексия деятельности Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

Спасибо за внимание!

Сокращение дробей тема достаточно трудная для математики 6 класса, поэтому разбирать ее стоит поэтапно. Чтобы не допускать ошибок, первые сокращения лучше делать так же, поэтапно. Приведем алгоритм, чтобы не допускать ошибок и научится быстро и просто сокращать любые дроби.

Алгоритм сокращения дробей.

Сначала нужно сказать, что само сокращение дробей возможно благодаря одному из определений дроби.

Дробь – это незавершенная операция деления. Имеется в виде, что всегда любую дробь можно заменить частным. Замена дробью нужна, чтобы сохранить точность вычислений.

Посмотрим, как выглядит подробное сокращение на примере:

$${25\over{40}}=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$

Чтобы каждый раз не расписывать – это выражение, можно пользоваться правилом сокращения дробей: если умножить или разделить знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не измениться.

Теперь запишем сам алгоритм. Для того, чтобы сократить дробь нужно:

• Представить числитель и знаменатель в виде простых множителей.
• Сократить каждый из равных простых множителей.
• Перемножить оставшиеся числа и записать результат.

Вместо того, чтобы расписывать в качестве множителей числитель и знаменатель, можно просто найти НОД числителя и знаменателя. Это и будет максимально возможное число, на которое можно разделить оба значения.

Специальной формулы для сокращения любой дроби не существует, зато можно использовать правила, приведенные в этом алгоритме.

Как найти НОД?

Вспомним, как находится НОД:

• Первый шаг это разложение числа на простые множители.
• В разложении ищутся общие простые числа и выписываются в отдельное выражение.
• Получившееся значение и есть НОД.

Приведем пример.
Необходимо найти НОД чисел 150 и 294.

Пример

Приведем пример сокращения дробей. Для этого упрости дробь ${513216\over{145152}}$. Для примера специально выбраны большие числа, чтобы показать, как самое большое число может стать маленьким в результате упрощения.

Мы не будем искать НОД, разложим числа на простые множители и найдем общие значения.

513216:2=256608 - в первую очередь число делится на 2. Чтобы число делилось на два, нужно, чтобы число единиц было четным.

256608:2=128304 - деление на 2 продолжается вплоть до момента, когда последняя цифра числа перестанет быть четной. После этого пробуем делить число на 3 и другие простые числа. Все простые числа есть в таблице простых чисел.

Запишем результат разложения: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 - всего получилось 6 чисел 3, 6 чисел 2 и число 11. Таким же образом разложим 145152.

Запишем результаты:

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 - всего 8 чисел 2, 4 числа 3 и одно число 7.

В обоих числах нужно сократить 6 чисел 2 и 4 числа 3. Запишем получившийся числитель. В нем останутся числа: 2 числа 3 и число 11

Запишем получившийся знаменатель. В нем останутся числа: 2 числа два и число 7

В результате сокращения получилась дробь:

${99\over{28}}$ - при желании можно выделить целую часть. Но, если этого не требуется в условии задачи, то допускается оставить ответ в таком виде.

Что мы узнали?

Мы поговорили о сокращении дробей. Узнали, почему сокращение возможно. Выяснили, как правильно производить сокращение. Привели алгоритм сокращения и два способа проведения операции. Рассмотрели пример сокращения дробей.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.5 . Всего получено оценок: 74.